Je n'ai compris que récemment que tout ce synchronisait. Je pensais que une fois reçu, le mail était effacé du serveur !

Non pas tout, selon la configuration de ta messagerie, tu reçois juste les en-têtes des messages et ton client charge le mail au moment de le lire.

C'était un problème du protocole POP3. Le client de messagerie téléchargeait les mails sur les serveurs et les supprimait, ce qui implique que quand tu utilisais le même compte sur plusieurs ordis, tu ne pouvais pas consulter tes anciens mails reçus sur un poste à partir d'un autre.
Une des solutions était de paramétrer tes clients de messagerie pour qu'ils laissent les messages sur le serveur et ainsi pouvoir lire tous les mails à partir de n'importe quel ordinateur. C'est à ce moment qu'il fallait supprimer les messages sur tous les ordinateurs et sur le serveur.

Je profite du moment : il est possible de réceptionner tout les messages (en entier, pas que l'en-tête et pas à la demande), d'en conserver une copie sur le serveur et que si on indique le mail comme lu sur l'un des postes, que ce soit répliqué sur les autres ?

Oui, c'est en option. En tout cas Gmail le fait.

Merci, je vais aller voir ça, c'est surtout la réception de la totalité du mail qui m'intéresse principalement, je suis jamais sûr d'avoir le net en permanence.

Pour ce qui est de la réception du mail en totalité, ça se configure sur ton client uniquement. Le laisser sur le serveur, en IMAP, tant que tu ne le supprimes pas via ton client mail il y restera, en POP3, il faut configurer soit le serveur, soit ton client pour que tes messages restent après les avoir téléchargés sur le client.
Dès que tu lis un mail avec ton client via IMAP, si tu es connecté à ce moment, il sera marqué comme lu sur le serveur. Tous tes autres clients le marquera comme lu une fois que tu seras connecté. Concernant le POP3, je ne suis pas sûr.

@Claplote :
Oui tu peux télécharger sur ton pc la totalité du mail. je le fait en imap sous thunderbird
cliques droi sur le dossier concerné puis propriétés puis synchronisation et sélectionner ce dossier pour utilisation hors connection ou un truc du genre.

Pareil, avec Thunderbird, je consulte 2 comptes gmail et mon vieux compte hotmail sur 5 pcs différents sans le moindre souci.